Despre numere trapezoidale

Ne ocupăm de problema aceasta:
https://brilliant.org/weekly-problems/2018-07-09/intermediate/?problem=trapezoidal-numbers

În caz că dispare linkul, hai să o formulăm în română.

T(x, y) este un număr de cercuri aranjate trapezoidal, astfel încât x este numărul de cercuri din partea de sus, iar y din partea de jos.
Fiecare rând are un număr de cercuri mai puţin cu unu decât precedentul de jos.
Care este singurul număr cuprins între 10.000 şi 20.000 care NU poate fi scris ca T(x, y) pentru numerele naturale x, y cu x



Rezolvare

Observaţia 1.
Trebuie pusă condiţia ca trapezul să conţină cel puţin două rânduri, în caz contrar orice număr poate fi scris pe o singură linie şi problema devenea banală.
De aceea avem

  şi nu 



Observaţia 2.
Pentru un număr impar problema este simplă:

adică un trapez cu două linii, cu k, respectiv k+1 cercuri.
Rămâne să mai studiem problema în cazul numerelor pare.



Se remarcă faptul că un număr trapezoidal N poate fi scris ca diferenţa a două numere triunghiulare:

Conform observaţiei 2, vom considera doar cazurile când N este par:

unde

Considerăm cazurile:

I) x, y – ambele pare/impare. În acest caz, x+y+1 = impar. Rezultă sistemul:

cu soluţia:  x=a-b , y= a+b.

Trebuie pusă condiţia a>b.

II) x, y – parităţi diferite.

cu soluţia:  x=b-a-1 , y= a+b.

Aici este necesară condiţia b>a.

Se observă că în cazul în care numărul N nu are divizori impari, deci este o putere a lui 2, problema nu admite soluţie. Se exclude cazul divizorului unitar, conform Observaţiei 1.

Aşadar, în cazul problemei noastre, este vorba de acea putere a lui 2 cuprinsă între 10.000 şi 20.000 şi anume 16.384.



Paginile blogului nicolae-coman.ro: