Despre numere trapezoidale - nicolae-coman.ro

Ne ocupăm de problema aceasta:
https://brilliant.org/weekly-problems/2018-07-09/intermediate/?problem=trapezoidal-numbers

În caz că dispare linkul, hai să o formulăm în română.

T(x, y) este un număr de cercuri aranjate trapezoidal, astfel încât x este numărul de cercuri din partea de sus, iar y din partea de jos.
Fiecare rând are un număr de cercuri mai puţin cu unu decât precedentul de jos.
Care este singurul număr cuprins între 10.000 şi 20.000 care NU poate fi scris ca T(x, y) pentru numerele naturale x, y cu x

Rezolvare

Observaţia 1.
Trebuie pusă condiţia ca trapezul să conţină cel puţin două rânduri, în caz contrar orice număr poate fi scris pe o singură linie şi problema devenea banală.
De aceea avem

$x<y$ şi nu $x\leq y$

Observaţia 2.
Pentru un număr impar problema este simplă:

$2k+1=k+(k+1),$

adică un trapez cu două linii, cu k, respectiv k+1 cercuri.
Rămâne să mai studiem problema în cazul numerelor pare.

Se remarcă faptul că un număr trapezoidal N poate fi scris ca diferenţa a două numere triunghiulare:

$N={\frac {y(y+1)}{2}}-{\frac {x(x+1)}{2}}={\frac {(y-x)(x+y+1)}{2}}$

Conform observaţiei 2, vom considera doar cazurile când N este par:

$N=(2a+1)b,$

unde $a\in \mathbb {N} ,\;b\in \mathbb {N} ^{*}.$

Considerăm cazurile:

I) x, y – ambele pare/impare. În acest caz, x+y+1 = impar. Rezultă sistemul:

${\begin{cases}x+y+1=2a+1\\y-x=2b\end{cases}}$

cu soluţia: x=a-b , y= a+b.

Trebuie pusă condiţia a>b.

II) x, y – parităţi diferite.

${\begin{cases}x+y+1=2b\\y-x=2a+1\end{cases}}$

cu soluţia: x=b-a-1 , y= a+b.

Aici este necesară condiţia b>a.

Se observă că în cazul în care numărul N nu are divizori impari, deci este o putere a lui 2, problema nu admite soluţie. Se exclude cazul divizorului unitar, conform Observaţiei 1.

Aşadar, în cazul problemei noastre, este vorba de acea putere a lui 2 cuprinsă între 10.000 şi 20.000 şi anume 16.384.

Paginile blogului nicolae-coman.ro

Nou! Dicţionare ilustrative în: engleză, franceză, germană, italiană, spaniolă, portugheză, olandeză, suedeză, latină.

Pagina principală ◆ Regele Mihai și mizeria clasei politice contemporane ◆ Istorie universală ◆ Statul paralel regal ◆ Rămas bun, Majestate! ◆ Retrospectiva anului 2017 ◆ Curiozităţi ◆ Călătorie până în anul 2050 ◆ Cele mai rapide trenuri din 2017 ◆ Eminescu şi ştiinţa ◆ Nicolae Ceaușescu – dictator sau patriot? ◆ ”Sabaton” – o lecție de istorie în stil power metal ◆ Şapte secole de la moartea lui Mircea cel Bătrân ◆ Statistici Facebook ◆ Un secol de la moartea lui Gustav Klimt ◆ Joseph Fourier și efectul de seră ◆ Ion Creangă – reformator didactic și religios ◆ Noi suntem urmași ai Romei ◆ Medicină și șarlatanie ◆ 100 de ani de la moartea lui Delavrancea ◆ Un secol de la moartea lui Coșbuc ◆ Trei secole de la naşterea Mariei Gaetana Agnesi ◆ Formaţia “Scorpions” sau arta efemerului ◆ Ziua copiilor şi tumbele acestora în faţa politicienilor ◆ 2 iunie – Ziua Națională a Italiei ◆ Suedia, ţara politicienilor fără privilegii ◆ 4 Iulie – Ziua Statelor Unite ale Americii ◆ Despre numere trapezoidale ◆ Transilvania – o mică Europă dincolo de Carpați ◆ Pulanul poPULIst al PSD-ului ◆ Ceauşescu – floarea cu care nu se face Primăvara de la Praga? ◆ Firea vs. Dragnea sau ”Războiul celor două roze PSD” ◆ Referendumul Lăcustelor Negre şi al Ciumei Roşii ◆ Eşecul referendumului pentru familia tradiţională ◆ 145 de ani de la naşterea lui Gheorghe Ţiţeica ◆ Viitor de aur ţara noastră are ◆ Iliescu – coşmarul repetat al istoriei ◆ Cum nu poți lua Nobelul fiind femeie ◆ Cum aţi petrecut de cutremur? ◆ Sex şi agonie (arta lui Schiele) ◆ Apollinaire – sunetul cuvintelor ce nu pot fi rostite ◆ Centenarul unei țări triste, dar pline de humor ◆ Unde se duc banii noştri, când se duc? ◆ Discursul lui Dragnea sau Apogeul maşinii politice manipulatoare ◆ 22 Decembrie sau Fals eseu despre libertate ◆ De ce nu pot fi mai bun? ◆ Monarhie vs. Bolşevism ◆ Retrospectiva anului 2018 ◆ Civilizaţie vs. ţopârlănie ◆ Freamătul eminescian al bastoanelor de cauciuc ◆ Ziua UNIRII sau Ziua URINII? ◆ Unica soluţie este… evoluţie ◆ Internetul care nu dă de pomană ◆ AutoCAD ◆ Scufundarea navei PSD ◆ Valenţele universale ale artei ◆ Să fie lumină! ◆ Cel care a creat o nouă lume ◆ Ciuma Neagră ortodoxă ◆ PSD – ascensiunea şi decăderea unui mit ◆ Nu vă lăsaţi manipulaţi! ◆ Ce treabă are Papa cu România? – Dar ce treabă are ortodoxia cu România? ◆ Harta culturală a lumii ◆ Fals eseu despre prostie ◆ Când sataniştii vor spitale, nu catedrale ◆ 23 august sau Jocul Marilor Puteri ◆ Lingvistică pesedistă sau „O nouă spârcâială a Diareei Roşii” ◆ Necredincioasa ◆ Ne-am săturat!!! ◆ Evanghelia după Bulai ◆ De ce (nu) poţi face sex la serviciu? ◆ Veniţi de luaţi coronavirus! ◆ Fetişul linguriţei de împărtăşanie ◆ Divide et impera ◆ Nebunia (dez)organizată a religiei ◆ Misoginism contemporan ◆ Megaproiecte ale anului 2021